رتبه‌بندی

ابتدا، فلوی تمام لبه‌های موجود در مجموعه‌ی P (مجموعه‌ی مسیر‌های افزایشی) برابر با صفر فرض می‌شود. یعنی: ،
برای تمام مسیر‌های افزایشی موجود در P، مقدار پسماندr ، ∞ فرض میشود،
برای هر لبه‌ی i به j در P: r = min(r,(cij – fij)) و
برای هر لبه‌ی i به j در P:.
حال می‌توان با دانستن روند محاسبه‌ی حدّاکثر فلو، شاخص مرکزیت جدید را محاسبه نمود.
برای یک شبکه‌ی G با n منبع و m چاهک، فرض می‌کنیم که حدّاکثر فلوی جاری از گره منبع u به گره چاهک v باشد. از طرفی، فرض می‌کنیم که بخشی از فلو باشد که از لبه‌ی عبور می‌کند. شاخص مرکزیت به صورت زیر تعریف می‌شود:
می‌توان فلوی خطوط شبکه را با استفاده از مجموع تمام حدّاکثر فلوها نرمالیزه کرد:
شبکه‌ی قدرت به عنوان یک شبکه‌ی جهت‌دار، در PowerWorld [29]
لذا می‌توان لبه‌های شبکه را براساس سهمی از فلویی که طبق رابطه‌ی ‏(2-57) حمل می‌کنند، رتبه‌بندی کرد. هرچه فلوی یک خط بیشتر باشد، رتبه‌ی آن بالاتر است. با تعیین شاخص مرکزیت، می‌توان خطوط مهمّ شبکه را با استفاده از این شاخص مشخّص کرد.
در این مقاله [29]، دو حالت مختلف بررسی شده است. یکی یک شبکه شامل یک گره منبع و یک گره چاهک و دیگری شامل چند گره منبع و چند گره چاهک. ‏شکل2-3 یک شبکه‌ی نمونه را نشان می‌دهد که شامل یک گره منبع و یک گره چاهک است. اعداد نشان داده شده روی خطوط ارتباطی (لبه‌ها) بیان‌گر ظرفیت این خطوط است.
‏شکل2-4 همان شبکه را، در حالتی که حدّاکثر فلوی قابل انتقال از منبع به چاهک در حال جریان است نشان می‌دهد. آن دسته از لبه‌ها که فلوی عبوری از آن‌ها برابر با حدّمجاز ظرفیت آن‌هاست (یعنی لبه‌های ،، و ) متعلّق به مجموعه‌ی برش کمینه می‌باشند. اطّلاعاتی که از این‌جا بدست می‌آید می‌تواند در طراحی بهتر شبکه به ما کمک کند. به عنوان مثال اگر بخواهیم که حدّاکثر فلوی انتقالی از منبع به چاهک را افزایش دهیم، باید لبه‌های متعلّق به برش کمینه را تقویت کنیم. باید دقّت شود که حدّاکثر فلوی انتقالی از منبع به چاهک برابر است با مجموع فلوی لبه‌های متعلّق به برش کمینه.
‏شکل2-5 شبکه‌ای شامل دو گره منبع (گره‌های 1 و 2) و سه گره چاهک (گره‌های 8 و 9 و 10) را نشان می‌دهد و اعداد نمایش داده شده بر روی لبه‌ها (خطوط ارتباطی) بیان‌گر ظرفیت (یا وزن) این خطوط می‌باشد. مقادیر شاخص مرکزیت () برای تمام لبه‌ها در ‏شکل2-6 نمایش داده شده است و رتبه‌های اوّل تا سوم مربوط به خطوط شبکه نیز در آن مشخّص داده شده است. مشاهده می‌شود که به جز لبه‌هایی که مستقیماً به گره‌های منبع متّصل شده‌اند، در بین بقیه‌ی لبه‌ها، به ندرت پیش می‌آید که شاخص مرکزیت زیاد باشد. سه شاخص مرکزیت بزرگتر با دایره‌ی قرمز نمایش داده شده‌اند. ‏جدول2-4 نیز نحوه‌ی محاسبه‌ی شاخص مرکزیت را برای لبه‌ی ، به ازای تمام ترکیبات مختلف
منبع-چاهک نمایش می‌دهد. نهایتاً این نتیجه گرفته می‌شود که آن دسته از لبه‌هایی که دارای شاخص مرکزیت بزرگی هستند، به عنوان خطوط ارتباطی مهم و آسیب‌پذیر شناخته می‌شوند.
در تمامی مدل‌هایی که تا به اینجا برای بررسی آسیب‌پذیری سیستم قدرت بیان شد، از اتّفاقاتی که بلافاصله پس از خروج یک خط ممکن است رخ دهد صرف نظر شده است. ونگ [30] در بررسی آسیب‌پذیری سیستم قدرت تئوری زنجیره‌ی خطا استفاده می‌کند و از این طریق، اثر رخدادهای محتمل پس از خروج یک خطّ انتقال را در نظر می‌گیرد. در ادامه، پس از معرّفی زنجیره‌ی خطا، به توضیح و شرح مدل ارائه شده توسّط ونگ [30] خواهیم پرداخت.
بهتر است که زنجیره‌ی خطا با ارائه‌ی یک مثال توضیح داده شود [30]. در شبکه‌ی نمونه‌ی ارائه شده در
‏شکل2-7، اگر فرض شود که یکی از سه خطّ موجود بین شین‌های A و F به خاطر تعمیرات از مدار خارج شده است (این خط را خطِّ b1 می‌نامیم) و در همین حال یک خطای اتّصال کوتاه روی خطِّ دوم (این خط را خطِّ b2 می‌نامیم) رخ داده است، در این وضعیت بار دو خطِّ اوّل، به خطِّ سوم (این خط را خطِّ b3 می‌نامیم) منتقل می‌شود و این خط دچار اضافه بار می‌شود. در این حال، رله‌ی مربوط به خطِّ سوم عمل خواهد کرد و این خط را نیز از مدار خارج می‌کند. در وضعیت رخ داده، بخش A-F شبکه به طور کامل از شبکه جدا می‌شود و برای تأمین بار‌های موجود در شین‌های B وF، خطوط انتقال B-F (این خط را خطِّ b4 می‌نامیم) و D-F (این خط را خطِّ b5 می‌نامیم) نیز دچار اضافه بار میشوند و با عملکرد رله‌ها از مدار خارج می‌شوند. این روند می‌تواند موجب رخداد یک خاموشی شود.
شبکه‌ی اصلی، شامل یک منبع و یک چاهک [29]
شبکه‌ی مورد مطالعه، در حالت حدّاکثر فلو [29]
شبکه‌ی اصلی با چند منبع و چند چاهک [29]
شبکه‌ی مورد مطالعه، با حدّاکثر فلوهای نرمالیزه شده [29]
محاسبه‌ی شاخص مرکزیت برای لبه‌ی [29]
ترکیب منبع-چاهک
(u-v)
فلوی عبوری از لبه‌ی Eij
(fij)
حدّاکثر فلو