ژانویه 23, 2021

برنامه‌ریزی

مدّت زمان تعمیرات (ساعت)
خطِّ انتقال
72
ترانسفورمر
768
پست
768
باس‌بار
360
در رویکردی دیگر، آرویو [15] برای بررسی آسیب‌پذیری سیستم قدرت از برنامه‌ریزی دو سطحی استفاده می‌کند و با تعریف دو تابع هدف متفاوت برای مهاجم به ارائه‌ی دو مدل مختلف می‌پردازد: یکی مدل آسیب‌پذیری کمینه و دیگری مدل آسیب‌پذیری بیشینه. مدلِ حدّاقل آسیب‌پذیری، به جستجوی حدّاقل تعداد خطوطی که خروج آن‌ها سبب می‌شود که بار از دست رفته‌ی شبکه، از یک آستانه‌ی تعیین شده توسط اپراتور شبکه و یا برنامه‌ریز شبکه بیشتر شود، می‌پردازد. به عکس، مدل حدّاکثر آسیب پذیری، برای تعداد خطوطی که می‌توانند همزمان از شبکه خارج شوند، یک مقدار حدّاکثر فرض می‌کند و سپس با این فرض، به دنبال محاسبه‌ی حدّاکثر بار از دست رفته‌ی شبکه می‌پردازد. آرویو در مدل خود هم خطاهای عامدانه و هم پیشامدهای معمول سیستم قدرت را در نظر می‌گیرد.
تابع هدف مسأله‌ی سطح بالا در مدل آسیب‌پذیری کمینه به صورت رابطه‌ی ‏(2-53) تعریف می‌شود که بیان‌گر متغیّر خروج یک خطّ انتقال است و در صورتی که مقدار صفر را به خود بگیرد معادل این است که آن خط به هر دلیلی (چه در اثر حمله و چه در اثر پیشامدهای معمول سیستم قدرت) از مدار خارج شده است.
این تابع هدف مشروط به این قید است که میزان قطعی بار از یک حدّ خاص () بیشتر شود (رابطه‌ی
‏(2-54)). تابع هدف مسأله‌ی سطح پایین که به عنوان قید دوم مسأله‌ی سطح بالا محسوب می‌شود به صورت زیر بیان
می‌شود:
که در آن، سعی بر کمینه کردن کلّ بار قطع شده‌ی شبکه می‌باشد. در این رابطه، بیانگر بار قطع شده در شین n می‌باشد. قیود مسأله‌ی سطح پایین نیز شامل محدودیت‌های فیزیکی پخش‌توان شبکه می‌شوند که در مدل‌های قبلی به آن‌ها اشاره شده است و از تکرار آن‌ها خودداری می‌کنیم.
در مدل آسیب‌پذیری بیشینه، جای قید و تابع هدف بیان شده برای مسأله‌ی سطح بالا در مدل آسیب‌پذیری کمینه (روابط ‏(2-53) و ‏(2-54)) عوض می‌شود و این بار، در مسأله‌ی سطح بالا، هدف بیشینه کردن میزان بار قطع شده‌ی شبکه می‌باشد که محدودیت در نظر گرفته شده برای آن، این است که تعداد خطوطی از شبکه که می‌توانند به طور همزمان از شبکه خارج شوند کمتر از یک مقدار خاص می‌باشد. مسأله‌ی سطح پایین در هر دو مدل یکسان است.
بحث مهمّ دیگری که آرویو [15] به آن پرداخته است، مقایسه‌ی تعداد متغیّرها و زمان حلّ مربوط به زمانی که یک مسأله‌ی دو سطحی از روش دوگان به یک مسأله‌ی یکپارچه تبدیل شود و یا این که با استفاده از روش KKT به صورت یکپارچه باز نویسی شود، می‌باشد. آرویو با یکپارچه کردن دو مدل فوق، با استفاده از هر دو روش دوگان و KKT نشان می‌دهد که یکپارچه کردن مسأله‌ی دو سطحی با استفاده از تئوری دوگان، به شدّت زمان حلّ مسأله و نیز تعداد متغیّرهای آن را کاهش می‌دهد.
دیودی [29] در بررسی آسیب‌پذیری سیستم قدرت از شبکه‌های پیچیده استفاده می‌کند و با استفاده از تئوری بازی به ارائه‌ی مدلی مبتنی بر حدّاکثر فلو می‌پردازد. این مدل درجه‌ی اهمّیت هر یک از خطوط شبکه را تعیین می‌کند و مشخّص می‌سازد که یک شبکه‌ی قدرت، بیشتر از ناحیه‌ی کدام خطوط آسیب‌پذیر است. در این مدل، ابتدا شبکه‌ی قدرت به صورت یک شبکه‌ی پیچیده مدل می‌شود تا بتوان براساس تئوری‌ها و مبانی شبکه‌های پیچیده، شاخصی به نام شاخص مرکزیت را برای خطوط انتقال شبکه محاسبه نمود. براساس شاخص مرکزیتی که برای تمام خطوط شبکه محاسبه می‌شود، خطوط شبکه از نظر میزان اهمّیت رتبه‌بندی می‌شوند و هرچه یک خط دارای اهمّیت بالاتری باشد، شبکه از ناحیه‌ی آن خط آسیب‌پذیرتر می‌شود.
برای درک بهتر مدل ارائه شده در این مقاله، ابتدا لازم است که یک سری تعاریف اوّلیه از شبکه‌های پیچیده بیان شود. یک شبکه، مجموعه‌ای از گره‌ها و رأس‌ها است که توسّط رابط‌هایی به یکدیگر وصل شده‌اند. یک شبکه را هم‌بند می‌گویند، اگر بین هر دو جفت گره آن، یک مسیر (چه مستقیم و چه غیر مستقیم) اتّصال وجود داشته باشد. به تعداد لبه‌‌های متّصل به یک گره، درجه می‌گویند. احتمال اینکه یک گره دارای یک درجه‌ی ویژه باشد، با توزیع یک توزیع احتمالاتی توصیف می‌شود که به آن توزیع درجه می‌گویند.
پارامتر دیگری که شاخصی است از میانگین میزان نزدیکی گره‌های شبکه به یکدیگر، ضریب خوشه‌ای نامیده
می‌شود. کوتاه‌ترین مسیر موجود بین دو گره را مسیر ژئودسیک می‌نامند و به میانگین کلّیه‌ی مسیر‌های ژئودسیک موجود در شبکه، طول مسیر مشخّصه‌ی شبکه می‌گویند که این مقدار، شاخصی از میزان کارآیی شبکه نیز می‌باشد.
به طور کلّی دو نوع گراف یا شبکه وجود دارد: یکی گراف جهت‌دار و دیگری گراف بدون جهت. در گراف جهت‌دار، اگر در یک شاخه، فلو یا داده یک باشد، در جهت عکس آن فلو صفر خواهد بود. آن گرهی که فرستنده‌ی اطّلاعات است، منبع نامیده می‌شود و درجه‌ی وروری آن صفر می‌باشد و گرهی که دریافت کننده‌ی اطّلاعات است، چاهک نامیده می‌شود و درجه‌ی خروجی آن صفر می‌باشد. گره‌های میانی و لبه‌های اتّصال دهنده نیز مسیر افزاینده را تشکیل می‌دهند همواره فلوی ورودی و خروجی آن‌ها برابر است. اگر لبه‌های انتقال دهنده‌ی اطّلاعات، دارای وزن و یا ظرفیت باشند، شبکه را شبکه‌ی ظرفیت‌گذاری شده گویند.
اگر یک شبکه‌ی ظرفیت‌گذاری شده به دو قسمت طوری تقسیم شود که گره‌های منب
ع در مجموعه‌ی S قرار داده شوند و گره‌های چاهک در مجموعه‌ی T، آن‌گاه مجموعه‌ی ، یک برش نامیده می‌شود. برشی که ظرفیت آن، کمترین برش را در بین همه‌ی برش‌های شبکه دارد، برش کمینه نامیده می‌شود.
سیستم قدرت می‌تواند به عنوان یک شبکه‌ی پیچیده‌ی بزرگ در نظر گرفته شود. در این شبکه، ژنراتور‌ها، بار‌ها و شین‌ها به عنوان گره، و خطوط انتقال به عنوان لبه یا رابط در نظر گرفته می‌شود. اگر فرض کنیم که G = (V,E)، یک شبکه با n گره و k لبه باشد، آن‌گاه المان‌های مربوط به ماتریس مجاورت E، بیان‌گر اتّصالات شبکه می‌باشند. اگر بین دو گره i و j، یک اتّصال مستقیم وجود داشته باشد آن‌گاه و در غیر این صورت برابر با صفر می‌باشد. در حالت ماندگار، شبکه‌ی قدرت به صورت یک شبکه‌ی جهت دار است. ‏شکل2-2 یک شبکه‌ی قدرت را به عنوان یک شبکه‌ی جهت‌دار به نمایش می‌گذارد. همان‌طور که مشاهده می‌شود، در حالت دائمی، شبکه به صورت یک گراف جهت‌دار است؛ بدین معنی که اگر فلویی از شین i به شین j وجود داشته باشد، آن‌گاه دیگر فلویی از شین j به شین i وجود نخواهد داشت. لازم به ذکر است، ادمیتانس خطوط انتقال، به عنوان وزن خطوط ارتباطی استفاده می‌شود. ریاضی مسأله به این صورت است که اگر یک فلوی مستقیم از شین i به شین j وجود داشته باشد، آن‌گاه: و .
همان‌طور که گفته شد، در این مقاله [29]، هدف، تشخیص خطوط مهم شبکه، از طریق تعریف یک شاخص مرکزیت می‌باشد. برای محاسبه‌ی شاخص مرکزیت نیاز است که بتوان حدّاکثر فلوی جاری در شبکه را، به ازای زوج‌های مختلف منبع و چاهک تشخیص داد. G یک شبکه‌ی جهت‌دار است و P مجموعه‌ای از مسیر‌های افزایشی. وزن خطوط ارتباطی توسّط ظرفیت آن‌ها، یعنی تعریف می‌شود.
در ادامه، با استفاده از تئوری Max-Flow Min-cut، که به آن تئوری Ford-Fulkerson نیز گفته می‌شود، حدّاکثرفلو در این شبکه‌ی وزن‌دهی شده و جهت‌دار محاسبه می‌شود. الگوریتم مذکور به صورت زیر می‌باشد: