برنامه‌ریزی

تبدیل مدل دو سطحی ارائه شده، به یک مدل یک‌سطحی
هر یک از مسائل سطح پایین، یک مسأله‌ی برنامه‌ریزی خطّی است و بنابراین محدّب است [36]. پس، هر یک از مسائل سطح پایین را می‌توان با شرایط بهینگی لازم مرتبه اوّل آن، که با نام شرایط KKT شناخته می‌شوند، جایگزین نمود. براساس تئوری دوگان [36] در مسائل برنامه‌ریزی خطّی، این شرایط معادل با فرمول‌بندی اوّلیه-دوگان، شامل قیود اوّلیه، قیود مسأله‌ی دوگان و قید تئوری دوگان قوی، می‌باشند. از آن‌جا که فرمول‌بندی اوّلیه-دوگان از نظر بار محاسباتی نسبت به روش KKT ارجحیت دارد [15]، در این پایان‌نامه نیز مسائل سطح پایین را به صورت قیود مسأله‌ی سطح بالا بازنویسی می‌کنیم. بنابراین مسأله‌ی بهینه‌سازی دو سطحی ‏(3-1)-‏(3-19) تبدیل به یک مسأله‌ی بهینه‌سازی یک‌سطحی می‌شود که آن را MPEC گویند. مسأله‌ی دوگان مربوط به مسأله‌ی سطح پایین ‏(3-12)-‏(3-19) برای زیربازه‌ی t به صورت زیر نوشته می‌شود:
مشروط به آن که:
تساوی دوگان قوی نیز برای هر زیربازه‌ی t به صورت زیر نوشته می‌شود:
بنابراین، MPEC مسأله به صورت زیر نوشته می‌شود:
‏(3-1)
مشروط به قیود:
‏(3-2)-‏(3-11)، ‏(3-13)-‏(3-19) و ‏(3-24)-‏(3-35)
تبدیل MPEC به یک مسأله‌ی MILP
در MPEC بدست آمده در روابط ‏(3-36) و ‏(3-37)، قیود ‏(3-13)، ‏(3-27) و ‏(3-28) دارای ترم‌های غیرخطّی هستند که با خطّی کردن این قیود، می‌توان MPEC حاصل را به یک مسأله‌ی MILP تبدیل نمود. هر قید ‏(3-13) با دو قید خطّی زیر جایگزین می‌شود که در آن، Ml(t) یک عدد مثبت و به قدر کافی بزرگ است [38]:
اوّلین ترم در قیود ‏(3-27) و ‏(3-28) غیرخطّی می‌باشد و در هر دو قید، این ترم غیرخطّی دقیقاً یکسان است. این قیود غیرخطّی، با قیود خطّی زیر جایگزین می‌شوند [15]:
به این ترتیب، مدل دو سطحی ارائه شده برای بررسی آسیب‌پذیری سیستم قدرت در یک افق زمانی مشخّص تبدیل به یک مسأله‌ی بهینه‌سازی یک‌سطحی مختلط با عدد صحیح می‌شود. از آن‌جا که مدل ارائه شده به این سؤال پاسخ می‌دهد که در چه زمان (When) و کجا (Where) شبکه‌ی قدرت بیشتر آسیب‌پذیر است، نام این مدل را WaW نهاده‌ایم که مخفّف عبارت «When and Where» می‌باشد. در ادامه، مدل WaW بر روی شبکه‌ی شش شینه‌ی گارور [39] و همین‌طور شبکه‌ی IEEE 24-Bus RTS پیاده شده است [40]. در هر دو مورد، مدل WaW با نرم‌افزار GAMS شبیه‌سازی شده است و برای حلّ مدل، از CPLEX 12 بر روی یک کامپیوتر GHz 93/2،
Intel Core i7 با 10 GB RAM استفاده شده است.
مثال عددی اوّل
دیاگرام تک‌خطّی این شبکه در ‏شکل3-1 نمایش داده شده است.
افق زمانی مطالعه
افق زمانی مورد مطالعه در این مثال عددی برابر با یک فصل در نظر گرفته شده است که به 13 هفته تقسیم شده است. هر هفته نیز به دو زیربازه‌ی روزهای کاری (شامل پنج روز) و آخر هفته (شامل دو روز) تقسیم شده است
(26 = T). علاوه بر آن، برای ایجاد این امکان که حمله بتواند در زیربازه‌ی آخر (t26 ) نیز صورت بگیرد، 10 زیربازه‌ی اضافه نیز در نظر گرفته شده است و متغیّر حمله δl(t) برای تمام خطوط شبکه، در این 10 زیربازه‌ی اضافه در مقدار صفر ثابت شده است.
داده‌های ورودی مسأله
شبکه‌ی مورد مطالعه در این مثال دارای سه ژنراتور، هشت خطّ انتقال و پنج بار است. اطّلاعات مربوط به ژنراتورهای سیستم در ‏جدول3-3 داده شده است. در این مثال فرض شده است که همه‌ی ژنراتورها در هزینه‌ی نهایی خود پیشنهاد قیمت می‌دهند و این پیشنهادات قیمت، برای تمام بلوک‌ها و در تمام افق زمانی مورد مطالعه ثابت و یکسان می‌ماند.
برای هرکدام از بارهای سیستم تنها یک بلوک در نظر گرفته شده است و دو توزیع مختلف بار بر روی شین‌های مختلف شبکه، برحسب درصدی از بار پیک سیستم در هر زیربازه در ‏جدول3-4 آورده شده است. پیک بار سیستم مربوط به هر زیربازه نیز در ‏جدول3-5 ارائه شده است. دو مجموعه‌ی مختلف برای مقادیر پارامتر W‌l مربوط به خطوط مختلف شبکه (تعداد زیربازه‌های لازم برای تعمیرات اجباری هر خط) نیز در ‏جدول3-6 آورده شده است.
شبکه‌ی شش شینه‌ی گارور[39]
اطّلاعات مربوط به ژنراتورهای شبکه‌ی گارور [39]
Gen
بلوک ۱
بلوک ۲